TEMA 8: FUNCIONES AFINES

Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m y n números distintos de 0.

• m es la pendiente de la recta.
• La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
• Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

          

• n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.

https://www.youtube.com/watch?v=hkLnRAgdQ-0

TEMA 8: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Concepto de función:

Una función es una relación establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable (variable independiente x), un único valor de la segunda variable (variable dependiente y). Esta relación se representa mediante y = f(x)

Las funciones se pueden determinar de varias formas:

 Mediante una tabla de valores.

Mediante su expresión analítica.

 Mediante su gráfica.

Diagrama cartesiano: Consiste en dividir el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes mediante dos rectas perpendiculares entre sí (horizontal y vertical respectivamente). Dichas rectas se cortan en un punto que recibe el nombre de origen de coordenadas.

Las rectas se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero. En la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x"), al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,...; y hacia la izquierda el -1, -2,... y así sucesivamente en ambas direcciones. De forma análoga se procede con la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y"), al punto de corte se le asigne el 0 y hacia arriba el 1,2,....; y hacia abajo el -1,-2,... etc. De modo que tenemos la situación del dibujo.

La fórmula:

Es la expresión algebraica de la función, en la cual los elementos de los conjuntos se simbolizan, la de manera general, mediante variables.

Las fórmulas de las funciones son de la forma y=F(x), en la cual f(x) es una expresión en términos de x;x es la variable independiente y representa los elementos de Dom f;y es la variable dependiente y representa los elementos de Rec F

Y= 2x

Y= f(x) = 2x

La tabla de valores:

Una tabla de valores es una tabla donde aparecen algunos (pocos) valores de la variable independiente x y sus correspondientes valores de la variable dependiente y. Necesariamente, para poder ser manejable y útil, deben aparecer pocos valores de ambas variables.

https://youtu.be/FL8mscyyr0o  tabla de valores

Primer Video explicativo ¡¡¡¡no te lo pierdas!!!!!!!!!!!

Segundo Video explicativo ¡¡¡¡no te lo pierdas!!!!!!!!!!!

https://www.youtube.com/watch?v=A7OrJ8IlIeE

TEMA 8: FUNCIONES CUADRÁTICAS

Ecuaciones cuadráticas

¡Hola Matemáticos! Les dejo un video para repasar lo que hemos dado en clase.

https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0

https://www.youtube.com/watch?v=tydwp9z0dnA

¿Recuerdan las ecuaciones cuadráticas?

En una función cuadrática la variable aparece elevada al cuadrado , siendo éste su exponente máximo.

¿Cual es la fórmula que tendremos que seguir para calcular  f(x) = ax2 + bx + c = 0 ?

TEMA 8: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

• Las funciones se pueden expresar:

• EN FORMA DE ENUNCIADO.
• EN FORMA ALGEBRAICA.
• EN FORMA TABULAR.
• EN FORMA GRÁFICA.

• Para realizar la gráfica de una función, representaremos los puntos en los ejes de coordenadas.
• Estos son:

• EJE DE ABSCISAS (EJE HORIZONTAL): La variable independiente.
• EJE DE ORDENADAS (EJE VERTICAL): La variable dependiente.

• Para realizar la gráfica se pintarán puntos. Cada uno de los cuales tendrá dos valores que están relacionados a través de la función.

 ACTIVIDAD:

    Dibuja los siguientes puntos en el eje de coordenadas:

• A (3, 1)                       E (-3, 0)
• B (-2, 1)                      F (3, 0)
• C (-4, -3)                    G (0, 3)
• D (1, -4)                     H (0, -3)

     

TEMA 7: ACTIVIDADES TEOREMA DE THALES

Los contenidos que se destaca son los siguientes los cuales son sacados del BOE. Utilización de técnicas de resolución de problemas para abordar los relativos al cálculo de longitudes de segmentos proporcionales, medidas de figuras semejantes, distancias entre objetos que cumplan algún criterio de proporcionalidad. Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice… Sistema de coordenadas cartesianas. Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos. Figuras semejantes como las que tienen la misma forma y sus segmentos proporcionales.

Descripción: en esta actividad los alumnos van a interpretar las condiciones de aplicación del teorema de Tales, con objetos de la vida cotidiana. Para ello trabajarán con la proporcionalidad entre segmentos. Se hará grupos de dos o tres alumnos, se dará unas indicaciones para realizar el ejercicio. Los alumnos tendrán que averiguar la altura de la figura que hayan encontrado en el patio del colegio. ¿Cómo podríamos averiguar la altura de esta figura? Para saber su altura hay que tener en cuenta si Tales y la figura son proporcionales, para ello hay que medir la sombra de la figura, la sombra y la altura de Tales…una vez que se tengan todos los datos deberán describir mediante un dibujo y resolver el problema que se ha planteado.

Para realizar esta actividad se utilizó los siguientes materiales: metro o cinta métrica, lápices, cuaderno, tizas.

Resultados: se observó que los alumnos estaban motivados realizando las actividades, así como aplicando sus conocimientos teóricos.

Conclusión: es una forma atractiva y lúdica de presentar estas actividades a los alumnos, ya que de esta manera les ayuda a desarrollar mejor sus aprendizajes. Ya que son libres para jugar con distintas figuras y hacer sus respectivas demostraciones.

https://www.youtube.com/watch?v=ifjbo-RyfNE

TEMA 7: ACTIVIDADES

Los contenidos que se destaca son los siguientes los cuales son sacados del BOE. Utilización de técnicas de resolución de problemas para abordar los relativos al cálculo de longitudes de segmentos proporcionales, medidas de figuras semejantes, distancias entre objetos que cumplan algún criterio de proporcionalidad. Ángulos en distintas posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice… Sistema de coordenadas cartesianas. Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos. Figuras semejantes como las que tienen la misma forma y sus segmentos proporcionales.

Descripción: en esta actividad los alumnos van a interpretar las condiciones de aplicación del teorema de Tales, con objetos de la vida cotidiana. Para ello trabajarán con la proporcionalidad entre segmentos. Se hará grupos de dos o tres alumnos, se dará unas indicaciones para realizar el ejercicio. Los alumnos tendrán que averiguar la altura de la figura que hayan encontrado en el patio del colegio. ¿Cómo podríamos averiguar la altura de esta figura? Para saber su altura hay que tener en cuenta si Tales y la figura son proporcionales, para ello hay que medir la sombra de la figura, la sombra y la altura de Tales…una vez que se tengan todos los datos deberán describir mediante un dibujo y resolver el problema que se ha planteado.

Para realizar esta actividad se utilizó los siguientes materiales: metro o cinta métrica, lápices, cuaderno, tizas.

Resultados: se observó que los alumnos estaban motivados realizando las actividades, así como aplicando sus conocimientos teóricos.

Conclusión: es una forma atractiva y lúdica de presentar estas actividades a los alumnos, ya que de esta manera les ayuda a desarrollar mejor sus aprendizajes. Ya que son libres para jugar con distintas figuras y hacer sus respectivas demostraciones.

https://www.youtube.com/watch?v=ifjbo-RyfNE

TEMA 7: ACTIVIDADES

SEMEJANTES

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan diferente tamaño. Matemáticamente, eso quiere decir que sus lados son proporcionales entre sí. De hecho, cuando vemos copias (ampliaciones o reducciones) que no reproducen exactamente al original, decimos que “están desproporcionadas”. Cuando dos figuras son semejantes, la razón entre los lados homólogos es una constante que se denomina razón de proporcionalidad.

Para que dos figuras sean semejantes deben cumplir dos condiciones:

Ø   Sus ángulos correspondientes (homólogos) son iguales

Ø   Sus lados correspondientes son proporcionales.

              ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡No te pierdas el siguiente video explicativo!!!!!!!!!!!

https://www.youtube.com/watch?v=gX_dPsWDw4U

Qué significa cuando decimos que dos figuras son congruentes primero tendrás que entender lo que significa la palabra “congruente”.

Congruente significa “exactamente lo mismo”.

Sí, pero también incluye los lados de las figuras y los ángulos.

Cuando tenemos dos figuras de cualquier tipo que tienen el mismo tamaño, forma y medida, podemos decir que estas dos figuras son congruentes.

Para asegurar que dos triángulos son congruentes, es suficiente que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios de congruencia

Ø   NO. 1. CRITERIO LLL (Lado, Lado, Lado) Los lados correspondientes son iguales. (Congruentes).

Ø   No. 2.- CRITERIO LAL (Lado, ángulo, lado). Los 2 lados correspondientes y el ángulo que forman son iguales.

                 No. 3.- CRITERIO ALA (Ángulo, lado, ángulo). Dos ángulos   correspondientes  y el lado común son iguales

·    Así como dijimos que dos figuras cualesquiera pueden ser congruentes, también podemos utilizar esto cuando observamos los tipos diferentes de polígonos. Se puede considerar dos tipos de polígonos: congruentes y no congruentes. Veamos si podemos determinar la congruencia.

¿Son congruentes estos dos octágonos?

Observa estos dos octágonos. Son exactamente iguales en todo aspecto. Puedes ver que si ponemos un octágono sobre el otro coincidirán perfectamente. Las longitudes de los lados son congruentes y las medidas de los ángulos también lo son. Si dos polígonos son congruentes, entonces es un hecho que las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos también son congruentes

    ¿Son estos dos hexágonos congruentes?

Solución

Estas dos figuras son hexágonos, pero son hexágonos diferentes. Uno es un hexágono regular, en donde todos los lados son congruentes, y el otro es irregular. El hexágono irregular posee seis lados, pero tienen longitudes diferentes, etc. Estos dos hexágonos no son congruentes.

• Ejercicios  de semejanza

Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’

Observa que sus lados son proporcionales:

8/4 = 6/3 = 10/5 = 2

Por eso los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza es  AC  /A′C  = 8/4=2                     

·         Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90. 

Son semejantes y la razón de semejanza es 7.22m

• ·         Determina cuanto mide el lado AC

 =  AC = 3.5 m

Son semejantes y la razón de semejanza es 0.4 m

Ejercicios en el video:   hallar si son semejantes los triángulos y su razón de semejanza.

https://www.youtube.com/watch?v=Rlhmodn3HDM

!!!!!!!! No te lo pierdas ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

TEMA 7: DIDÁCTICA DE LA PROPORCIONALIDAD

SOLUCIÓN:  x=  36x5 = 180 = 15

                             12 12   

TEMA 6: CRITERIOS DE CONGRUENCIA - EJERCICIOS SEMEJANZAS

Qué significa cuando decimos que dos figuras son congruentes primero tendrás que entender lo que significa la palabra “congruente”.

Congruente significa “exactamente lo mismo”.

Sí, pero también incluye los lados de las figuras y los ángulos.

Cuando tenemos dos figuras de cualquier tipo que tienen el mismo tamaño, forma y medida, podemos decir que estas dos figuras son congruentes.

Para asegurar que dos triángulos son congruentes, es suficiente que se cumpla cualquiera de los siguientes criterios de congruencia

Ø   NO. 1. CRITERIO LLL (Lado, Lado, Lado) Los lados correspondientes son iguales. (Congruentes).

Ø   No. 2.- CRITERIO LAL (Lado, ángulo, lado). Los 2 lados correspondientes y el ángulo que forman son iguales.

                 No. 3.- CRITERIO ALA (Ángulo, lado, ángulo). Dos ángulos   correspondientes  y el lado común son iguales

·    Así como dijimos que dos figuras cualesquiera pueden ser congruentes, también podemos utilizar esto cuando observamos los tipos diferentes de polígonos. Se puede considerar dos tipos de polígonos: congruentes y no congruentes. Veamos si podemos determinar la congruencia.

¿Son congruentes estos dos octágonos?

Observa estos dos octágonos. Son exactamente iguales en todo aspecto. Puedes ver que si ponemos un octágono sobre el otro coincidirán perfectamente. Las longitudes de los lados son congruentes y las medidas de los ángulos también lo son. Si dos polígonos son congruentes, entonces es un hecho que las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos también son congruentes

    ¿Son estos dos hexágonos congruentes?

Solución

Estas dos figuras son hexágonos, pero son hexágonos diferentes. Uno es un hexágono regular, en donde todos los lados son congruentes, y el otro es irregular. El hexágono irregular posee seis lados, pero tienen longitudes diferentes, etc. Estos dos hexágonos no son congruentes.

• Ejercicios  de semejanza

Consideremos los triángulos ABC y A’B’C’

Observa que sus lados son proporcionales:

8/4 = 6/3 = 10/5 = 2

Por eso los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza es  AC  /A′C  = 8/4=2                     

·         Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90. 

Son semejantes y la razón de semejanza es 7.22m

• ·         Determina cuanto mide el lado AC

 =  AC = 3.5 m

Son semejantes y la razón de semejanza es 0.4 m

Ejercicios en el video:   hallar si son semejantes los triángulos y su razón de semejanza.

https://www.youtube.com/watch?v=Rlhmodn3HDM

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